श्रेणी 1 + frac{4}{3} + frac{10}{9} + frac{28 | vedclass

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Question

(C) दी गई श्रेणी $S_n = 1 + \frac{4}{3} + \frac{10}{9} + \frac{28}{27} + \dots$ $n$ पदों तक है।प्रत्येक पद को $1 + \frac{1}{3^k}$ के रूप में लिखा जा स

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$n + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^n}$

Vedclass · Answer

(C) दी गई श्रेणी $S_n = 1 + \frac{4}{3} + \frac{10}{9} + \frac{28}{27} + \dots$ $n$ पदों तक है।प्रत्येक पद को $1 + \frac{1}{3^k}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$ है।अतः,$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} (1 + \frac{1}{3^k}) = \sum_{k=0}^{n-1} 1 + \sum_{k=0}^{n-1} (\frac{1}{3})^k$ है।पहला भाग $n$ बार $1$ का योग है,जो $n$ है।दूसरा भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{1(1 - (1/3)^n)}{1 - 1/3} = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$ है।अतः,कुल योग $S_n = n + \frac{3}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}}$ है।

श्रेणी $1 + \frac{4}{3} + \frac{10}{9} + \frac{28}{27} + \dots$ के $n$ पदों का योग क्या है?

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यदि $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं, तो व्यंजक $a_1 a_2 + a_2 a_3 + \dots + a_{n-1} a_n$ का मान क्या होगा?

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यदि एक $G.P.$ (गुणोत्तर श्रेणी) का प्रथम पद $5$ है और सार्व अनुपात $-5$ है,तो कौन सा पद $3125$ है ($^{th}$ में)?

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